三等分角能不能（第1页）

“三等分角”

能不能

剩下第三个几何难题，就是“三等分角”

的问题了。

把一个角平分，或4等分都很容易做到，惟独把一个角三等分却很难。

不知道有多少人绞尽脑汁、费尽精力企图三等分角，他们往往得意忘形地高呼：“我已解决三等分角的难题了。”

可是他们的解答都经不起仔细的推敲。

不信?这里就举两个例子：

例一是要三等分一个已知角∠MON。

我们以O为圆心，以任意长度a为半径作一个半圆。

交角的两边为A、B两点，此半圆的直径在NO的延长线上。

取一把直尺为CD（并无刻度），用圆规将a长在直尺上截取CE=a。

用该直尺在刚才画好的半圆上比划，使O的延长线上，E点保持在圆周上，使直尺的某一点通过A点，这时直尺CD的位置就已经确定了，过。

作CD的平行线，使OF∥CD，那么AFOB三等分∠AOB，即∠FOB=∠MON。

证明是很简单的：因为EC=OE，所以∠1=∠2；OE与OA均为半径，所以∠3=∠4；∠3是△CEO的外角，所以∠3=∠1+∠2=2∠1；由于OF∥CD，∠5=∠4，∠1=∠6，所以∠5=2∠6，由此证明了∠FOB三等分∠MON。

例二是取一个直角尺BCF，然后以DC的延长线为直径的位置，以CD长为半径，作一个半圆，其圆心为B。

如果我们要三等分一个角∠MON，可以使角的顶点O在CF上移动，角的一边OM与半圆相切，角的另一边ON通过D点，假设OM与半圆相切于E点。

那么∠ON。

证明同样是很简单：由于OE和OC均为切线，所以△OEB≌△OCB，故∠1=∠2；由于BC=CD，△OBD为等腰三角形，OC为高，所以∠2=∠3，于是∠ON。

这两种解答都是不严格的。

例一中预先在直尺上记了一点E，使直尺实际上具备了刻度的功能。

例二中用直角尺一边CD为基准，也是无形中违反儿何作图中直尺的规定。

因此，看上去像是解决了这个难题，实际上依然没有解决。

三大几何难题经过许多数学家的努力，终于在1895年，德国数学家克莱因已经证明了是无法用圆规和直尺来完成的，因此后人也不必再去白费精力了。